Clase 3: Integración por fracciones parciales.

Esta clase se me hizo muy largo el proceso honestamente entendí muy poco, me distraje mucho y no obtuve mucho conocimiento 😥😥 pero bueno tendré que repasar mucho y preguntar a mis compañeros.

Conocimiento

Este método permite integrar algunas de las funciones racionales, que difícilmente se puedan resolver mediante otro método de integración.

la integración por fracciones parciales es un método algebraico que permite descomponer una fracción racional en la suma de varias fracciones.

Aprendizaje complementario

Las fracciones parciales es un método de integración que permite resolver integrales de ciertas funciones racionales que no se pueden resolver por los otros métodos (formula directa, por partes, cambio de variable, etc.) 

para poder comprender mejor el tema ahí que definir que es una fracción raciona; se le llama fracción racional del tipo:

cuyo numerador y denominador son polinomios; sin embargo, si el exponente de los términos del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción se transforma a división: 

Pero, en el caso de una fracción donde el numerador es el el que tiene el exponente menor  y el denominador tiene el exponente mayor, la fracción puede transformarse en una suma de fracciones parciales por lo cual en denominador debe esta factorizado:

El proceso inverso incluye el uso de fracciones parciales, que tiene como objetivo encontrar la solución de las constantes involucradas:

Una definición mas exacta de el método de fracciones parciales seria:

Existen 4 casos de fracciones parciales:

caso 1: factores lineales distintos.

En este caso a cada factor lineal de la forma ax + b del denominador le corresponde una constante, se aumentara en numero de constantes dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.

Nota: Todas las integrales que utilicen este caso su resultado será el logaritmo natural de cada uno de los factores.

caso 2: factores lineales repetidos

El numero de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es decir; a cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma :

Nota: Una de las integrales correspondientes a este caso da como resultado un logaritmo natural, mientras que las restantes se resuelven mediante un cambio de variables.

caso 3:factores cuadráticos distintos

En este caso a cada factor le corresponderán dos constantes, de las cuales una de estas será el coeficiente del termino lineal. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado, como  

le corresponde una fracción parcial de la forma 

caso 4: FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS

El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.
A todo factor de segundo grado repetido n veces, como 

Corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma 

EJEMPLO DE CADA UNO DE LOS CASOS:

FUENTE: LIBRO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE GRANVILLE.

Biografía:https://images.app.goo.gl/for236phDgACyZ6TA

                                                                 https://youtu.be/sIJtWkE-t3w?feature=shared

 Unidad 3: Integración por partes.

Seguimos con mas integraciones es un tema muy interesante y laborioso 😬aplicando todo lo visto en las clases anteriores derivada e integración parece fácil en el momento, pero a la hora de hacerlo si se me complica porque me confundí con los procesos anteriores, algo bueno va a salir de todo esto con la practica y mas investigación 😅.

Conocimiento:

Integración por parte sea U y V funciones, al integrar se obtiene la formula de integración por parte

∫ u. dv = u. v - ∫ v. du

pueden ser funciones Algebraicas, Trigonométricas, Inversas, Exponenciales, Logarítmicas.

Nota: como identificar quien es U y derivada V, U tiene que ser fácil de derivar y derivada de V fácil de integrar.

 Ejemplo: 

Aprendizaje complementario:

El método de integración por partes nos permite integrar el producto de dos funciones utilizando la formula: 

Para poder identificar quien es  "u" y quien es "v" dependiendo de la integra que se presente vamos a usar la regla "ILATE".

Por medio de la palabra ILATE vamos a poder identificar quien seria "u" de acuerdo al orden de mayor menor, y al tener "u" la otra función por consiguiente seria "v".

Debemos recordar que este método de integración es mas completo por lo cual aquí que tener muy bien aprendido el tema de integrales inmediatas. Ya que aquí se pone en practica o que anteriormente hemos aprendido en este blog.

Ahora que tenemos las bases de este tema vamos a aplicarlas en algunos ejemplos.

Fuente: Libro Calculo Diferencial e Integral de Greenville.

Biografía:

https://images.app.goo.gl/PhzQG5FryqKhNVMk8

https://youtu.be/BjwZFoKDpfs?feature=shared

 Clase 3: Métodos de disco y Arandelas

En esta clase continuamos con el tema anterior, me confundo con el método aunque es el mismo de las integrales pero me revuelve, se que no es complicado pero la teoría o pregunta para resolver esa me confunde 😢🫣, hacé que se me borre el cassette y no sepa resolver dicho problema 😬.

Conocimiento

Longitud de Arco: si se tiene una función f dx derivable en un intervalo [a, b] entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo está longitud se conoce cómo la longitud del arco de la curva f dx .

Formula:

Aprendizaje complementario

Longitud de Arco (Cálculo)

Uso del Cálculo para encontrar la longitud de una curva.
(Por favor, lee primero sobre Derivadas e Integrales).

Imagina que queremos encontrar la longitud de una curva entre dos puntos. Y la curva es suave (la derivada es continua).

Primero dividimos la curva en pequeñas longitudes y usamos la fórmula de Distancia entre dos puntos en cada longitud para obtener una respuesta aproximada:

La distancia de x₀ a x₁ es:

S₁ = √ (x₁ − x₀)² + (y₁ − y₀)²

Y sea Δ (delta) la diferencia entre valores, de modo que tenemos:

S₁ = √ (Δx₁)² + (Δy₁)²

Ahora solo necesitamos muchos más segmentos:

S₂ = √(Δx₂)² + (Δy₂)²
S₃ = √(Δx₃)² + (Δy₃)²
...
...
S_n = √(Δx_n)² + (Δy_n)²

 

Podemos escribir todas esas líneas en una sola línea usando una Suma:

S ≈ 

n

i=1

 √(Δx_i)² + (Δy_i)²

¡Pero todavía estamos condenados a una gran cantidad de cálculos!

Tal vez podamos hacer una hoja de cálculo grande o escribir un programa para hacer los cálculos ... pero intentemos algo más.

Tenemos un plan astuto:

• hagamos que todos los Δx_i sean iguales para que podamos extraerlos del interior de la raíz cuadrada
• y luego convertir la suma en una integral.

Hagámoslo:

Primero, dividamos y multipliquemos Δy_i por Δx_i:

S ≈ 

n

i=1

 √(Δx_i)² + (Δx_i)²(Δy_i/Δx_i)²

Ahora factorizamos (Δx_i)²:

S ≈ 

n

i=1

 √(Δx_i)²(1 + (Δy_i/Δx_i)²)

Sacmos (Δx_i)² de la raíz cuadrada:

S ≈ 

n

i=1

 √1 + (Δy_i/Δx_i)²  Δx_i

Ahora, a medida que n tiende a infinito (a medida que nos dirigimos hacia un número infinito de cortes, y cada corte se vuelve más pequeño) obtenemos:

S = 

lim

n→∞

 

n

i=1

 √1 + (Δy_i/Δx_i)²  Δx_i

Ahora tenemos una integral y escribimos dx para indicar que los cortes Δx se acercan a un ancho cero (lo mismo para dy):

S = 

b

a

 √1+(dy/dx)² dx

Y dy/dx es la derivada de la función f(x), que también se puede escribir f’(x):

S = 

b

a

 √1+(f’(x))² dx
La Fórmula de Longitud de Arco

Y ahora, de repente, estamos en una posición mucho mejor, no necesitamos sumar muchos cortes, podemos calcular una respuesta exacta (si podemos resolver el diferencial y la integral).

Nota: la integral también funciona con respecto a y, útil si conocemos x = g(y):

S = 

d

c

 √1+(g’(y))² dy

Así que los pasos a seguir son:

• Encontrar la derivada de f’(x)
• Resolver la integral de √1 + (f’(x))² dx

Algunos ejemplos sencillos para empezar:

Ejemplo: Encuentra la longitud de f(x) = 2 entre x=2 y x=3

f(x) es solo una línea horizontal, por lo que su derivada es f’(x) = 0

Comienza con:

S = 

3

2

 √1+(f’(x))² dx

Pon f’(x) = 0:

S = 

3

2

 √1+0² dx

Simplifica:

S = 

3

2

 dx

Calcula la Integral:

S = 3 − 2 = 1

Entonces, la longitud del arco entre 2 y 3 es 1. Bueno, por supuesto que lo es, ¡pero es bueno que hayamos encontrado la respuesta correcta!

Punto interesante: la parte "(1 + ...)" de la fórmula de longitud del arco garantiza que obtenemos al menos la distancia entre los valores de x, como este caso donde f’(x) es cero.

Biografía: https://images.app.goo.gl/hjfdWGfXtpqaFm6v5

https://images.app.goo.gl/stZZMZ1ea2RPdyhB6

https://youtu.be/iCNOdf6xF5I?feature=shared