Clase: Integración de potencias de funciones Trigonométricas.

En esta clase continuamos con la integración aun mas avanzado, muy compleja como dije anteriormente si se me esta complicando o mas bien me sigo confundiendo 😒.

Conocimiento

Cuando las integrales presentan potencias de identidades trigonométricas, es necesario utilizar diferentes identidades que permiten obtener una nueva expresión trigonométrica mas sencilla para facilitar la integración para función seno.

1.1. Si las potencias son impares deberás emplear:

sen² x= 1- cos² x

1.2. Si la potencia es par deberás emplear:

sen² x= ½(1-cos 2x)

Ejemplo:

Para función de coseno

1.1. Si la potencia es impar deberás emplear:

cos² x= 1- sen² x

1.2. Si la potencia es par deberás emplear:

cos² x= ½ (1+ cos 2x)

Ejemplo:

Aprendizaje Complementario

Integrales de funciones trigonométricas con ejercicios

Las integrales de funciones trigonométricas son otras funciones trigonométricas. Por ejemplo, la integral de la función coseno es igual a la función seno y la integral de la función seno es igual a coseno negativo.

A continuación, conoceremos las fórmulas más importantes de las integrales de las funciones trigonométricas. Luego, aplicaremos estas fórmulas para resolver algunos ejercicios prácticos.

Fórmulas de las integrales de funciones trigonométricas

Integral de la función seno

La integral de la función seno estándar es:

$$\int \sin (x)dx=-\cos (x)+c$$

La integral de la función seno de un ángulo de la forma $nx$ es:

$$\int \sin (nx)dx=-\frac{1}{n}\cos (nx)+c$$

Podemos integrar composiciones de la función seno, como $\sin (2x)$ o ${\sin }^2(x)$ usando la regla de la cadena para integrales.

Integral de la función coseno

La integral de la función coseno estándar es:

$$\int \cos (x)dx=\sin (x)+c$$

La integral de la función coseno de un ángulo de la forma $nx$ es:

$$\int \cos (nx)dx=\frac{1}{n}\sin (nx)+c$$

Ejercicios resueltos de integrales de funciones trigonométricas

EJERCICIO 1

Resuelve la siguiente integral:

$$\int \sin (4x)dx$$

Solución

Podemos usar la regla de la cadena de integrales para resolver esta integral.

Entonces, sabemos que la integral de $\sin (x)$ es igual a $-\cos (x)$. Además, observamos que la derivada de $4x$ es 4, por lo que tenemos:

$$\int \sin (4x)dx=-\frac{1}{4}\cos (4x)+c$$

EJERCICIO 2

Resuelve la siguiente integral:

$$\int \sin (x)\cos (x)dx$$

Solución

Para resolver esta integral, podemos usar la siguiente identidad trigonométrica:

$$\sin (2x)\equiv 2\sin (x)\cos (x)$$

$$\sin (x)\cos (x)\equiv \frac{1}{2}\sin (2x)$$

Entonces, tenemos:

$$\int \sin (x)\cos (x)dx=\int \frac{1}{2}\sin (2x)dx$$

$$=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos (2x))+c$$

$$<span\; style="font-size:\; small;">=</span><span\; style="font-size:\; small;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">4</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">cos</span>}<span\; style="font-size:\; small;"></span><span\; style="font-size:\; small;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">x</span>}<span\; style="font-size:\; small;">)</span><span\; style="font-size:\; small;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">c</span>}$$

Biografía: 

https://images.app.goo.gl/sU2FT9jsCjznpHDH7

https://youtu.be/aV3RC0Eh-SQ?feature=shared

https://youtu.be/a8BIxz5t7DM?feature=shared